Čára integrální - Line integral

v matematika, a linka integrální je integrální Kde funkce který má být integrován, se hodnotí podle a křivka.^[1] Podmínky cesta integrální, křivka integrální, a křivočarý integrál jsou také používány; konturový integrál používá se také, i když to je obvykle vyhrazeno pro přímkové integrály v komplexní rovině.

Integrovanou funkcí může být a skalární pole nebo a vektorové pole. Hodnota integrálu přímky je součet hodnot pole ve všech bodech křivky, vážený nějakou skalární funkcí na křivce (obvykle délka oblouku nebo, pro vektorové pole, skalární součin vektorového pole s a rozdíl vektor v křivce). Tato váha rozlišuje integrál přímky od jednodušších integrálů definovaných na intervaly. Mnoho jednoduchých vzorců z fyziky, například definice práce tak jako ${displaystyle W = mathbf {F} cdot mathbf {s}}$ , v tomto případě mají přirozené spojité analogy, pokud jde o lineární integrály ${displaystyle extstyle W = int _ {L} mathbf {F} (mathbf {s}) cdot dmathbf {s}}$ , který počítá práce provádí se na objektu pohybujícím se elektrickým nebo gravitačním polem F po cestě s.

Vektorový počet

Z kvalitativního hlediska lze linii integrální ve vektorovém počtu považovat za míru celkového účinku daného tenzorové pole podél dané křivky. Například čáru integrální přes skalární pole (tenzor pořadí 0) lze interpretovat jako oblast pod polem vyřezanou určitou křivkou. To lze vizualizovat jako povrch vytvořený pomocí z = F(X,y) a křivka C v xy letadlo. Čára integrálu F by byla oblast „opony“ vytvořená - když jsou body povrchu, které jsou přímo nad C jsou vyřezány.

Čárový integrál skalárního pole

Čára integrálu přes skalární pole F lze považovat za oblast pod křivkou C podél povrchu z = F(X,y), popsané polem.

Definice

Pro některé skalární pole ${displaystyle f: mathbb {U} subseteq mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R}}$ , čára integrální podél a po částech hladké křivka ${displaystyle {mathcal {C}} podmnožina mathbb {U}}$ je definován jako^[2]

{displaystyle int _ {mathcal {C}} f (mathbf {r}), ds = int _ {a} ^ {b} fleft (mathbf {r} (t) ight) | mathbf {r} '(t) | , dt.}

kde ${displaystyle mathbf {r}: [a, b] ightarrow {mathcal {C}}}$ je libovolný bijektivní parametrizace křivky ${displaystyle {mathcal {C}}}$ takhle ${displaystyle mathbf {r} (a)}$ a ${displaystyle mathbf {r} (b)}$ uveďte koncové body ${displaystyle {mathcal {C}}}$ a ${displaystyle a$ . Tady a ve zbytku článku pruhy absolutní hodnoty označují standardní (euklidovská) norma vektoru.

Funkce ${displaystyle f}$ se nazývá integrand, křivka ${displaystyle {mathcal {C}}}$ je doménou integrace a symbolem ${displaystyle ds}$ lze intuitivně interpretovat jako elementární délka oblouku. Lineární integrály skalárních polí nad křivkou ${displaystyle {mathcal {C}}}$ nezávisí na zvolené parametrizaci ${displaystyle mathbf {r}}$ z ${displaystyle {mathcal {C}}}$ .^[3]

Geometricky, když skalární pole ${displaystyle f}$ je definována v rovině ${displaystyle (n = 2)}$ , jeho graf je povrch ${displaystyle z = f (x, y)}$ v prostoru a integrál přímky dává (podepsané) průřez oblast ohraničená křivkou ${displaystyle {mathcal {C}}}$ a graf ${displaystyle f}$ . Podívejte se na animaci vpravo.

Derivace

Pro přímkový integrál nad skalárním polem může být integrál sestaven z a Riemannova suma pomocí výše uvedených definic $F$ , $C$ a parametrizace $r$ z $C$ . Toho lze dosáhnout rozdělením disku interval $[A, b]$ do $n$ dílčí intervaly $[t i -1, t i]$ délky $Δ t = (b - A)/ n$ , pak $r (t i)$ označuje nějaký bod na křivce, označme jej jako ukázkový bod $C$ . Můžeme použít soubor vzorkovacích bodů ${r (t i) : 1 \leq i \leq n}$ pro přiblížení křivky $C$ podle a polygonální cesta zavedením přímky mezi každý z bodů vzorkování $r (t i -1)$ a $r (t i)$ . Potom označíme vzdálenost mezi každým z bodů vzorku na křivce jako $Δ s i$ . Produkt z $F (r (t i))$ a $Δ s i$ lze přidružit k podepsané oblasti obdélníku s výškou a šířkou $F (r (t i))$ a $Δ s i$ , resp. Užívání omezit z součet termínů, když se délka oddílů blíží nule, nám dává

{displaystyle I = lim _ {Delta s_ {i} o 0} součet _ {i = 1} ^ {n} f (mathbf {r} (t_ {i})), Delta s_ {i}.}

Podle věta o střední hodnotě, vzdálenost mezi následujícími body na křivce, je

{displaystyle Delta s_ {i} = left | mathbf {r} (t_ {i} + Delta t) -mathbf {r} (t_ {i}) ight | přibližně vlevo | mathbf {r} '(t_ {i}) hned | Delta t.}

Když to dosadíme do výše uvedených Riemannova součtu, výnosy

{displaystyle I = lim _ {Delta t o 0} součet _ {i = 1} ^ {n} f (mathbf {r} (t_ {i})) left | mathbf {r} '(t_ {i}) ight | Delta t}

což je Riemannova suma pro integrál

{displaystyle I = int _ {a} ^ {b} f (mathbf {r} (t)) left | mathbf {r} '(t) ight | dt.}

Čárový integrál vektorového pole

Definice

Pro vektorové pole F : U ⊆ Rⁿ → Rⁿ, čára integrální podél a po částech hladký křivka C ⊂ U, ve směru r, je definován jako^[2]

{displaystyle int _ {C} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot, dmathbf {r} = int _ {a} ^ {b} mathbf {F} (mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r } '(t), dt}

kde je Tečkovaný produkt, a r: [A, b] → C je bijektivní parametrizace křivky C takhle r(A) a r(b) uveďte koncové body C.

Lineární integrál skalárního pole je tedy liniový integrál vektorového pole, kde vektory jsou vždy tangenciální na řádek.

Lineární integrály vektorových polí jsou nezávislé na parametrizaci r v absolutní hodnota, ale záleží na tom orientace. Obrácení orientace parametrizace konkrétně změní znaménko integrálního řádku.^[3]

Z pohledu diferenciální geometrie, přímkový integrál vektorového pole podél křivky je integrálem odpovídající 1 formy pod hudební izomorfismus (což vezme vektorové pole na odpovídající covector pole), nad křivkou považovanou za ponořený 1 potrubí.

Derivace

Trajektorie částice (červeně) podél křivky uvnitř vektorového pole. Začínající od A, částice sleduje cestu C podél vektorového pole F. Tečkový produkt (zelená čára) jeho tečného vektoru (červená šipka) a vektor pole (modrá šipka) definuje oblast pod křivkou, která je ekvivalentem integrálu čáry cesty. (Podrobný popis získáte kliknutím na obrázek.)

Čárový integrál vektorového pole lze odvodit způsobem velmi podobným případě skalárního pole, ale tentokrát se zahrnutím tečkového součinu. Opět s použitím výše uvedených definic $F$ , $C$ a jeho parametrizace $r (t)$ , zkonstruujeme integrál z a Riemannova suma. Rozdělujeme interval $[A, b]$ (což je rozsah hodnot hodnoty parametr $t$ ) do $n$ intervaly délky $Δ t = (b - A)/ n$ . Pronájem $t i$ být $i$ Třetí bod $[A, b]$ , pak $r (t i)$ nám dává pozici $i$ bod na křivce. Místo výpočtu vzdáleností mezi následujícími body však musíme vypočítat jejich přemístění vektory, $Δ r i$ . Stejně jako dříve, hodnocení $F$ ve všech bodech na křivce a převzetí bodového součinu s každým vektorem posunutí nám dává infinitezimální příspěvek každého oddílu $F$ na $C$ . Když necháme velikost oddílů jít na nulu, získáme to součet

{displaystyle I = lim _ {Delta t o 0} součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} (mathbf {r} (t_ {i})) cdot Delta mathbf {r} _ {i}}

Podle věta o střední hodnotě, vidíme, že vektor posunutí mezi sousedními body na křivce je

{displaystyle Delta mathbf {r} _ {i} = mathbf {r} (t_ {i} + Delta t) -mathbf {r} (t_ {i}) cca mathbf {r} '(t_ {i}), Delta t.}

Když to dosadíme do výše uvedených Riemannova součtu, výnosy

{displaystyle I = lim _ {Delta t o 0} součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} (mathbf {r} (t_ {i})) cdot mathbf {r} '(t_ {i} ), Delta t,}

což je Riemannova suma pro integrál definovaný výše.

Cesta nezávislost

Pokud vektorové pole F je spád a skalární pole G (tj. pokud F je konzervativní ), to znamená,

{displaystyle mathbf {F} = abla G,}

pak u pravidlo více proměnných řetězu the derivát z složení z G a r(t) je

{displaystyle {frac {dG (mathbf {r} (t))} {dt}} = abla G (mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r} '(t) = mathbf {F} (mathbf {r } (t)) cdot mathbf {r} '(t)}

který se stane integrandem pro liniový integrál F na r(t). Z toho vyplývá, vzhledem k cestě C , že

{displaystyle int _ {C} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot, dmathbf {r} = int _ {a} ^ {b} mathbf {F} (mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r } '(t), dt = int _ {a} ^ {b} {frac {dG (mathbf {r} (t))} {dt}}, dt = G (mathbf {r} (b)) - G (mathbf {r} (a)).}

Jinými slovy, integrál F přes C záleží pouze na hodnotách G v bodech r(b) a r(A), a je tedy nezávislý na cestě mezi nimi. Z tohoto důvodu se nazývá liniový integrál konzervativního vektorového pole cesta nezávislá.

Aplikace

Lineární integrál má mnoho využití ve fyzice. Například práce provedeno na částice cestující po křivce C uvnitř silového pole představovaného jako vektorové pole F je přímka integrálu F na C.^[4]

Průtok křivkou

Pro vektorové pole ${displaystyle mathbf {F}: Usubset mathbb {R} ^ {2} o mathbb {R} ^ {2}}$ , ${displaystyle mathbf {F} (x, y) = (P (x, y), Q (x, y))}$ , přímka integrální napříč křivkou C ⊂ U, také nazývaný integrál toku, je definován v pojmech a po částech hladký parametrizace ${displaystyle mathbf {r} dvojtečka [a, b] o C,}$ ${displaystyle mathbf {r} (t) = (x (t), y (t)),}$ tak jako:

{displaystyle int _ {C} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot dmathbf {r} ^ {perp} = int _ {a} ^ {b} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t))) cdot (y '(t), - x' (t)), dt = int _ {a} ^ {b} -Q, dx + P, dy.}

Tady • je bodový produkt a ${displaystyle mathbf {r} '(t) ^ {perp} = (y' (t), - x '(t))}$ je ve směru hodinových ručiček kolmá na vektor rychlosti ${displaystyle mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t))}$ .

Tok je počítán v orientovaném smyslu: křivka $C$ má zadaný směr vpřed z $r (A)$ na $r (b)$ a tok se počítá jako pozitivní, když $F (r (t))$ je na pravé straně vektoru rychlosti vpřed $r ' (t)$ .

Složitá linka integrální

v komplexní analýza, integrál úsečky je definován pomocí násobení a přidání komplexních čísel. Předpokládat U je otevřená podmnožina z složité letadlo C, F : U → C je funkce a ${displaystyle Lsubset U}$ je křivka konečné délky parametrizovaná pomocí ${displaystyle gamma: [a, b] o L}$ , kde ${displaystyle gamma (t) = x (t) + iy (t).}$ Čára integrální

{displaystyle int _ {L} f (z), dz}

lze definovat rozdělením interval [A, b] do A = t₀ < t₁ < ... < t_n = b a vzhledem k výrazu

{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} f (gamma (t_ {k})), [gamma (t_ {k}) - gamma (t_ {k-1})] = suma _ {k = 1 } ^ {n} f (gamma _ {k}), Delta gamma _ {k}.}

Integrál je pak limitem toho Riemannova suma jak se délky intervalů dělení blíží nule.

Pokud je parametrizace ${displaystyle gamma}$ je průběžně diferencovatelné, lineární integrál lze vyhodnotit jako integrál funkce reálné proměnné:^[2]

{displaystyle int _ {L} f (z), dz = int _ {a} ^ {b} f (gamma (t)) gamma '(t), dt.}

Když ${displaystyle L}$ je uzavřená křivka (počáteční a koncový bod se shodují), je integrál přímky často označován ${displaystyle extstyle mast _ {L} f (z), dz,}$ někdy označovaný ve strojírenství jako a cyklický integrál.

Úsečka integrální vzhledem ke sdruženému komplexnímu diferenciálu ${displaystyle {overline {dz}}}$ je definováno^[5] být

{displaystyle int _ {L} f (z) {overline {dz}}: = {overline {int _ {L} {overline {f (z)}}, dz}} = int _ {a} ^ {b} f (gamma (t)) {overline {gamma '(t)}}, dt.}

Řádkové integrály komplexních funkcí lze vyhodnotit pomocí řady technik. Nejpřímější je rozdělit se na skutečnou a imaginární část, čímž se problém sníží na vyhodnocení dvou řádkových integrálů se skutečnou hodnotou. The Cauchyho integrální věta lze použít k vyrovnání integrálního řádku s analytická funkce na stejný integrál přes pohodlnější křivku. To také znamená, že přes uzavřenou křivku obklopující oblast kde ${displaystyle f (z)}$ je analytický bez singularity, hodnota integrálu je jednoduše nula, nebo v případě, že oblast zahrnuje singularity, je věta o zbytku počítá integrál z hlediska singularit.

Příklad

Zvažte funkci F(z) = 1/za nechte obrys L být proti směru hodinových ručiček jednotkový kruh asi 0, parametrizováno z (t) = E^to s t v [0, 2π] pomocí komplexní exponenciální. Nahrazením zjistíme:

{displaystyle {egin {aligned} mast _ {L} {frac {1} {z}}, dz & = int _ {0} ^ {2pi} {frac {1} {e ^ {it}}} tj ^ {it }, dt = iint _ {0} ^ {2pi} e ^ {- it} e ^ {it}, dt & = iint _ {0} ^ {2pi} dt = i (2pi -0) = 2pi i. konec {zarovnáno}}}

Toto je typický výsledek Cauchyho integrální vzorec a věta o zbytku.

Vztah komplexního liniového integrálu a liniového integrálu vektorového pole

Prohlížení komplexních čísel jako dvourozměrných vektory, liniový integrál funkce s komplexní hodnotou ${displaystyle f (z)}$ má skutečné a komplexní části rovné integrálu přímky a integrálu toku vektorového pole odpovídajícímu sdružené funkce ${displaystyle {overline {f (z)}}.}$ Konkrétně pokud ${displaystyle mathbf {r} (t) = (x (t), y (t))}$ parametrizuje L, a ${displaystyle f (z) = u (z) + iv (z)}$ odpovídá vektorovému poli ${displaystyle mathbf {F} (x, y) = {overline {f (x + iy)}} = (u (x + iy), - v (x + iy)),}$ pak:

{displaystyle {egin {zarovnáno} int _ {L} f (z), dz & = int _ {L} (u + iv) (dx + i, dy) & = int _ {L} (u, -v) cdot (dx, dy) + iint _ {L} (u, -v) cdot (dy, -dx) & = int _ {L} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot dmathbf {r} + iint _ {L} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot dmathbf {r} ^ {perp} .end {zarovnáno}}}

Podle Cauchyova věta, levý integrál je nula, když ${displaystyle f (z)}$ je analytický (uspokojující Cauchy – Riemannovy rovnice ). Odpovídajícím způsobem tím, že Greenova věta, pravé integrály jsou nulové, když ${displaystyle mathbf {F} = {overline {f (z)}}}$ je irrotační (kučera - zdarma) a nestlačitelný (divergence -volný, uvolnit). Ve skutečnosti jsou Cauchy-Riemannovy rovnice pro ${displaystyle f (z)}$ jsou identické s mizením zvlnění a divergence pro F.

Podle Greenova věta, oblast oblasti ohraničená hladkou, uzavřenou, pozitivně orientovanou křivkou ${displaystyle L}$ je dáno integrálem ${displaystyle extstyle {frac {1} {2i}} int _ {L} {overline {z}}, dz.}$ Tato skutečnost se používá například v dokladu o věta o ploše.

Kvantová mechanika

The cesta integrální formulace z kvantová mechanika ve skutečnosti se v tomto smyslu nevztahuje na integrály cesty, ale na funkční integrály, tj. integrály funkce prostoru v prostoru cest z možná cesta. Integrály cest ve smyslu tohoto článku jsou však důležité v kvantové mechanice; například při hodnocení se často používá komplexní integrace kontury amplitudy pravděpodobnosti kvantově rozptyl teorie.

Viz také

Reference

^ Kwong-Tin Tang (30. listopadu 2006). Matematické metody pro inženýry a vědce 2: Vektorová analýza, běžné diferenciální rovnice a Laplaceovy transformace. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.
^ ^A ^b ^C "Seznam symbolů kalkulu a analýzy". Matematický trezor. 2020-05-11. Citováno 2020-09-18.
^ ^A ^b Nykamp, Duane. "Line integrály jsou nezávislé na parametrizaci". Matematický přehled. Citováno 18. září 2020.
^ „16.2 Line Integrals“. www.whitman.edu. Citováno 2020-09-18.
^ Ahlfors, Lars (1966). Komplexní analýza (2. vyd.). New York: McGraw-Hill. p. 103.

externí odkazy

[Tang2006-1] Kwong-Tin Tang (30. listopadu 2006). Matematické metody pro inženýry a vědce 2: Vektorová analýza, běžné diferenciální rovnice a Laplaceovy transformace. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.

[:0-2] A ^b ^C "Seznam symbolů kalkulu a analýzy". Matematický trezor. 2020-05-11. Citováno 2020-09-18.

[:1-3] A ^b Nykamp, Duane. "Line integrály jsou nezávislé na parametrizaci". Matematický přehled. Citováno 18. září 2020.

[4] „16.2 Line Integrals“. www.whitman.edu. Citováno 2020-09-18.

[5] Ahlfors, Lars (1966). Komplexní analýza (2. vyd.). New York: McGraw-Hill. p. 103.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]